Nog meer natuurkunde

Ik heb op de HTS wel eens meegemaakt dat een docent een ingewikkelde formule op het bord schreef (bij het vak elektronica, 't was een transistor-equivalent, als ik 't me goed herinner).  Daar moesten wij dan iets mee doen.  Maar de formule was zo ingewikkeld dat we daar gewoon niet uitkwamen.  Na een kwartiertje ging de man uitleggen hoe je dat kan aanpakken.  “Dit deel is zo klein, dat kan je verwaarlozen.  Dat ook.  En dat ook.”  In luttele seconden had hij zoveel weggekrast dat er een simpele formule overbleef, waar wij wel wat mee konden.  Moraal van dit verhaal: als je snel resultaten wil dan moet je niet al te precies doen.  De vraag die zich dan opdringt is: hoe weet je nou wat je buiten beschouwing kan laten?

Kort geleden betoogde ik dat de belasting op de ankerpunten bij een slackline theoretisch wel vrij groot kan worden, maar dat je daar in de praktijk nogal wat moeite voor moet doen.  Ik vertrouw mijn karabiners na een slackline-opspan-avontuur nog wel.  Betweter  Kritische lezer nanske vroeg waarom ik eigenlijk de kracht die door de spanning van het koord op de ankers ontstaat buiten beschouwing laat.  Mijn antwoord was: “omdat ik daar helemaal niet bij heb stilgestaan”.  De vraag die ze misschien bedoelde te stellen is: “moet je niet ook de opspankracht in beschouwing nemen?”

(Er zijn niet zo veel vakgebieden waarin de exacte formulering van een uitspraak of vraag van cruciaal belang is.  Ik weet er zo gauw eigenlijk maar twee: juridische zaken en computerprogramma's.  Bij de computertechniek is de computer relatief onpartijdig en zo vriendelijk om de meeste fouten te benoemen voordat ze een probleem worden.  Advocaten hebben het wat dat betreft wat moeilijker.  Maar ik dwaal af.)

(1) Laten we beginnen bij een situatie waarin we bijna alles hebben weggestreept.  De ankerpunten zitten muurvast en kunnen dus helemaal niet bewegen.  De slackline zelf is zonder massa en rekt helemaal niet.  Tenslotte zijn we erin geslaagd om de slackline zuiver horizontaal op te spannen.  Opspannen is niet het juiste woord, want er staat in deze situatie geen enkele kracht op de ankerpunten.

Wat nu als er iemand op gaat (en blijft) staan?  Omdat de slackline niet kan uitrekken, en de ankerpunten niet kunnen bewegen, blijft de slackline zuiver horizontaal.  De belasting door de persoon is vertikaal, maar de slackline kan de ankerpunten alleen maar horizontaal belasten.  De ankerpunten kunnen dus niet een tegengestelde steunkracht geven.  Deze situatie kunnen we niet natuurkundig berekenen.  We hebben teveel weggestreept.

(2) We nemen nu dezelfde situatie, maar de slackline is iets te lang.  Als je er nu op gaat staan, dan heb je precies de situatie die ik in mijn vorige betoog beschreef (laten we die (0) noemen).  Maar er is niks opgespannen, dus 't zegt niks over de opspankracht, en dus al helemaal niks over de opmerking van nanske.

(3) Dan passen we 't systeem op een andere manier aan.  De slackline is nog steeds zonder massa en rek, en precies lang genoeg om horizontaal tussen de ankerpunten te passen.  Maar nu kunnen de ankerpunten bewegen.  Laten we zeggen dat de ankerpunten met een veer aan de ankerpunten van situatie (1) vast zitten.  De nieuwe ankerpunten en de veren zijn ook massaloos, maar de veren rekken uit.  Lineair met de kracht: als je er twee keer zo hard aan trekt dan rekken ze twee keer zo ver uit.  Laten we ook zeggen dat de veren vrij kunnen roteren om het originele ankerpunt, zodat ze keurig in de richting van de kracht kunnen gaan liggen.  Als er niemand op de slackline staat dan hangt 'ie zuiver horizontaal.  Zodra er iemand op gaat staan dan worden de veren een beetje uitgerekt en dan heb je gek genoeg weer precies situatie (0).

Maar omdat de slackline precies lang genoeg is, zijn de ankerpunten onbelast als er niemand op de slackline staat.  En de veren zijn dan helemaal niet uitgerekt (heet dat ingerekt?).  Da's dus ook niet de situatie waar nanske op doelde.

(4) Stel dat de veren van (3) een beetje slap zijn.  Dan rekken ze een heel eind uit, zelfs als je Philip op de slackline zet.  Om dat nou tegen te gaan kan je de slackline opspannen.  In ons model betekent dat dat de slackline iets te kort is.  Daardoor zijn de veren al een beetje uitgerekt, ook al staat er niemand op de slackline.  Als er dan iemand op gaat staan, dan rekken de veren nog wat verder uit, en trekken dus harder aan de slackline - waardoor de slackline minder ver inzakt.  De hoek is groter dan bij (3), maar de beschrijving bij (0) houdt nog steeds stand.

(5) We gaan nog één stapje realistischer, uitgaande van situatie (4).  We laten de slackline nog steeds massaloos (die massa is nl. verwaarloosbaar vergeleken met de massa van de persoon die erop gaat staan).  Maar de slackline rekt nu wel uit.  Dit soort rek is verrassend genoeg redelijk proportioneel met de uitgeoefende kracht (Robert Hooke, 17e eeuw).  Als onze proefpersoon op de slackline gaat staan, dan krijgen we twee rechte stukken slackline: van het ene anker naar de proefpersoon, en van de proefpersoon naar het andere anker.  Ze zijn allebei iets uitgerekt.  De werklijn van de kracht die daarmee samenhangt (de veerkracht) ligt in de lengterichting van dat stuk slackline.  En omdat een kracht langs zijn werklijn mag worden verplaatst, kunnen we rekenkundig, in de evenwichtssituatie, de rek van de slackline verplaatsen naar (extra) rek in de veren van de ankerpunten die we in situatie (3) introduceerden.

Ik denk dat het antwoord op de vraag “moet je niet ook de opspankracht in beschouwing nemen?” nu wel duidelijk is.  Het antwoord luidt:  “We houden impliciet al rekening met de opspankracht.  Die bepaalt namelijk (mede) de hoek die in de slackline ontstaat als je erop gaat staan.  De geometrie van de evenwichtssituatie bepaalt de vermenigvuldigingsfactor.”